Subeksponentsiaalsete jaotuste klass

Klassi

--*n S = {X > 0 : ∀n ∈ ℕ lim FX--(x) = n} x→ ∞ FX (x)

nimetatakse subeksponentsiaalsete jaotuste klassiks. See nimetus tuleneb faktist, et kui X∈S siis ∀ϵ > 0

ϵx--- xli→m∞ e FX (x ) = ∞,

mis tähendab, et subeksponentsiaalse juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni täiendfunktsioon koondub nulli väiksema kiirusega kui mistahes eksponentfunktsioon kujul -ϵx e , kus ϵ>0 .

Intuitsiooni mõttes on tähtis alljärgnev omadus. Olgu X1,...,Xn ∈ S IID juhuslikud suurused jaotusfunktsiooniga F (x) , Sn = X1 + ...+ Xn ja Mn = max (X1,...,Xn ) . Kuivõrd n Æ ℙ(Mn > x ) = 1 - [F (x)] ~ nF (x) , siis

ℙ(Mn > x ) ~ ℙ (Sn > x).

Seega on subeksponentsiaalsete juhuslike suuruste summa suur väärtus ühe suure liidetava tulemus.

Olgu X1 ∈ S jaotusfunktsiooniga FX (x ) 1 ja X2 > 0 jaotusfunktsiooniga FX (x) 2 mingi kergema sabaga juhuslik suurus s.o.

---- lim FX1(x-)= ∞, x→ ∞ FX2(x )

kusjuures X1 ja X2 on sõltumatud. Siis

X1 + X2 ∈ S,

kusjuures

-------- ---- FX1+X2 (x) ~ FX1 (x)

Olgu nüüd X1 ∈ S jaotusfunktsiooniga FX1 (x) ja X2 > 0 sellise jaotusfunktsiooniga F(x) X2 , et mingi c > 0 korral kehtib

---- ---- cFX1(x ) ~ FX2(x).

Siis X2∈ S ning kui X1 ja X2 on sõltumatud siis ka

X1 + X2 ∈ S,

kusjuures

-------- ---- FX1+X2 (x ) ~ (1 + c)FX1 (x).

Olgu X1,...,Xn ∈ S IID juhuslikud suurused jaotusfunktsiooniga F (x) . Et

ℙ (M > x) ~ ℙ(S > x) ~ nFÆ(x). n n

siis viimase omaduse põhjal Sn ∈ S ja Mn ∈ S .

Klassi defineeriva omaduse kohta saab näidata, et kui mingi n ≥ 2 korral kehtib

-*n- lim F--(x)-= n x→∞ F(x)

siis kehtib see iga n ≥ 2 korral. Seega, kontrollimaks kas X ∈ S , piisab ühe piirväärtuse leidmisest. Ometi võib ka see praktikas üpris tülikas olla. Niinimetatud Pitmani tingimus klassi S kuulumiseks on praktikas sageli mugavam.

Olgu juhuslik suurus X > 0 tihedusfunktsiooniga f (x) ja riskifunktsiooniga h (x) , mis on alates mingist kohast kahanev, kusjuures lxi→m∞h (x) = 0 . Kui

∫ ∞ exh(x)f (x )dx < ∞, 0

siis X∈S .

Siin esitatud väidete tõestused võib leida näiteks raamatu [1] 9. peatükist.

 

[1] Asmussen, S.: 2000, Ruin Probabilities. Singapore: World Scientific Publishing.

 

« Eelmine | Järgmine »