Ekstremaalsete jaotuste teoreem

Asume otsima max-stabiilseid jaotusi, teades et need sisaldavad kõiki ekstremaalväärtuste jaotusi. Lähtume seosest $N [G(x)] = G (cN x + dN)$ , mis kehtib $∀N ∈ ℕ$ korral.

Oletame, et $cN = 1$ . Siis saame, et

NM M

[G (x)] = [G (x + dN )] = G (x + dN + dM )

[G (x)]NM = G(x + d ),

NM

mistõttu $dN = K1 lnN$ . Nüüd logaritmides lähteseost kaks korda $(ln G (x ) ≤ 0)$ saame

lnN + ln(- ln G (x)) = ln (- ln G (x + K1 ln N ))

ehk kui funktsiooni argument suureneb $K ln N 1$ võrra siis funktsiooni väärtus suureneb $lnN$ võrra. Seega

ln(- lnG (x)) = K2 + x∕K1,

kus $K1$ peab olema negatiivne, sest $ln(- lnG (x))$ on kahanev funktsioon. Nüüd saame, et $G(x)=exp{ - exp{x ∕K1 + K2 }}$ , millega on sama tüüpi jaotus

-x G (x) = e-e ,

mis on esimene leitud max-stabiilne jaotus.

Lähtume nüüd taas seosest $[G (x )]N = G (c x + d ) N N$ , mis kehtib $∀N ∈ ℕ$ korral. Kui nüüd $cN⁄=1$ siis näeme, et $- 1 x = dN (1 - cN)$ korral on $x = cNx + dN$ ehk siis kehtib $[G(x)]N= G (x )$ , mistõttu on ilmne, et peab kehtima

{ -1 0 G (dN(1 - cN ) ) = 1.

Esmalt oletame, et $G (dN (1 - cN )-1) = 1$ . Siis peab tegu olema jaotuse parempoolse otspunktiga $x F$ . Me võime võtta $x = 0 F$ , sest peres kuhu $G (x)$ kuulub (skaala ja asukohaparameeter muudetavad) on kindlasti selline jaotus olemas ja meid huvitab vaid jaotuse üldkuju. Seega $dN = xF(1 - cN ) = 0$ .

NM M

[G(x )] = [G (cN x)] = G(cM cN x)

[G (x)]NM = G (cNM x),

mistõttu $K cN = N 1$ . Nüüd logaritmides lähteseost kaks korda $(ln G (x) ≤ 0)$ saame

ln N + ln(- ln G (x)) = ln (- ln G (N K1x))

ehk kui funktsiooni argument suureneb $N K1$ korda siis funktsiooni väärtus suureneb $ln N$ võrra. Seega

K∘ ----- ln (- ln G (x )) = ln 1 xK2,

kus $K2< 0$ (sest juurealune peab olema positiivne) ja $K1 > 0$ , sest $ln(- ln G(x ))$ on kahanev funktsioon. Nüüd saame, et $G(x ) = exp {- K1√xK2-}$ , millega on sama tüüpi jaotus