Lävendit ületavate väärtuste modelleerimine Ris

Viimaseks vaatleme üldistatud Pareto jaotuse kasutamist. Jaotusega seonduvad põhifunktsioonid on paketis fExtremes olemas – juhuslikke suurusi saab genereerida näiteks funktsiooni rgpd abil.

Mudelit võimaldab andmetele sobitada funktsioon gpdfit, kus muuhulgas tuleb ära määrata ka lävendi väärtus $u$ . Seega juhul kui tegu on juba lävendit ületavate värtustega, millest on lävendi väärtus maha lahutatud, siis võtame $u = 0$ . Parameetrite hindamise meetoiteks on taaskord võimalik valida, kas suurima tõepära või siis üldistatud ekstremaalväärtuste jaotuse meetod.

Mudeli sobivuse analüüsiks saab funktsiooni summary abil joonistada taaskord neli graafikut. Esimene kujutab saba tinglikku empiirilist ja sobitatud jaotust. Teine joonistab juba tuttava jaotusfunktsiooni täiendfunktsiooni graafiku, kusjuures mõlemad teljed on logaritmilises skaalas. Kolmandal kujutatakse taas mudeli “jäägid”, mis jällegi peaksid olema standardse eksponentjaotuse realisatsioonid. Sedakorda on seoseks, mille alusel jäägid leitakse

ln (1 + ξx) --------σ--. ξ

Viimane graafik on “jääkide” kvantiil-kvantiilgraafik.

Lävendi valikuks saab kasutada juba eelnevalt tutvustatud keskmise jääkeluea graafikut kui ka funktsiooni gpdShapePlot, mis kujutab kujuparameetri hinnangu muutumist erinevate lävendi väärtuste korral. Kui mingist kohast alates on parameetri hinnang stabiilne siis on just see koht sobiv lävendiks. Teoreetiline õigustus peitub siin üldistatud Pareto jaotuse saba omaduses – nimelt kui juhuslik suurus ise on üldistatud Pareto jaotusega siis on tema tinglik saba jaotus ka üldistatud Pareto jaotusega (kusjuures sama kujuparameetriga). Seda on lihtne näha vaadeldes jaotusfunktsiooni täiendfunktsiooni – väide on, et kui

( ) -1∕ξ ℙ (X > x) = 1 + ξx- , σ

siis on samal kujul ka juhusliku suuruse $X - u |X > u$ jaotusfunktsiooni täiendfunktsioon (muutuda võib vaid $σ$ ). Kuna aga

( ξ(x+u))- 1∕ξ ℙ (X > u + x) 1 + --σ--- ( ξx )- 1∕ξ ℙ(X- u > x|X > u) = -------------- = --(------)--1∕ξ-- = 1 + ------- , ℙ (X > u ) 1 + ξuσ σ + ξu

siis selline väide tõepoolest kehtib.

Funktsioon gpdQuantPlot võimaldab ettenatud andmete põhjal visualiseerida kasutaja poolt määratud kvantiili hinnangut (koos usalduspiiridega) vastavalt lävendi väärtusele. Kvantiil, mille hinnangut vaadeldakse, ei tohi olla väiksem kui kasutatavate lävendite väärtused (programm korrigeerib seda vastasel juhul ise). Funktsioon gpdRiskMeasures leiab sisendina saadud mudeli põhjal saba tinglikud keskmised ehk annab vastuse küsimusele, kui suur on juhusliku suuruse väärtus keskmiselt, kui on teada, et see ületab nt. $0.999$ kvantiili.

« Eelmine