Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Доказательство.

Пусть в треугольнике ABC AB = c, BC = a, CA = b. Докажем, что

a/sinA = b/sinB = c/sinC.

По теореме о площади треугольника

S = 1/2 ab sinC, S = 1/2 bc sinA, S = 1/2 ca sin B.

Из первых двух равенств получаем 1/2 ab sinC = 1/2 bc sin A, откуда a/sinA = c/sinC. Точно так же из второго и третьего равенств следует a/sinA = b/sinB. Итак, a/sinA = b/sinB = c/sinC. Теорема доказана.

Замечание.

Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Следовательно, для любого треугольника ABC со сторонами AB = c, BC = a и СА = b имеют место равенства

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R, где R – радиус описанной окружности.