Из вершины В описываем дугу PQ произвольного радиуса. Тем же раствором циркуля описываем из центра К дугу pq. Из точки р засекаем дугу ар радиусом, равнымPQ. Точку q пересечения дуг рд и ар соединяем с К. Угол qKM — искомый.

Из концов А и В произвольного отрезка АВ описываем радиусом АВ две дуги. Точки их пересечения С и D соединяем прямой, которая пересечет отрезок АВ в его середине О. Точку А соединяем прямой с точкой С. Z САО = 60°, ACO = 30°.

На сторонах прямого угла ВАС откладываем равные отрезки АВ и АС и соединяем их концы прямой СВ. Прямая ВС образует с АС и АВ углы по 45°.

Из вершины А проводим дугу DE произвольным радиусом. Из точек D и Е ее пересечения со сторонами АВ и АС описываем произвольными равными радиусами (удобнее всего прежним раствором циркуля) дуги cd и ab. Точку их пересечения соединяем с А; полученная прямая AF делит угол ВАС пополам.

Простой линейкой и циркулем точно выполнить это построение нельзя. С помощью циркуля и измерительной линейки (например, сантиметровой) построение можно выполнить так: произвольным радиусом АС описываем из точки А окружность. Продолжаем АС за точку А. Кладем измерительную линейку так, чтобы она проходила через В и вращаем ее вокруг В до тех пор, пока отрезок ED между окружностью и прямой АК не станет равным радиусу АС. Тогда угол EDF есть треть угла ВАС.