Применение алгебраического метода к решению геометрических задач сводится к следующему алгоритму:

• составлению уравнения по условиям задачи;
• решению полученного уравнения относительно буквы, означающей искомый отрезок;
• исследованию полученной формулы;
• построению отрезка по полученной формуле.

Если решение задачи сводится к построению какого-либо отрезка, то можно принять этот отрезок за х и решить вначале задачу на вычисление, т.е. выразить х через известные отрезки x = f(a, b, c, …). Далее остается построить отрезок х по этой формуле.

Алгебраический метод универсален и применим к любой задаче на построение, но не всегда дает наиболее простое решение. Метод используется также для доказательства (не)разрешимости задачи на построение с помощью линейки и циркуля.

Пусть через a, b, c, … обозначены заданные отрезки, а через x, y, z, … – искомые.

Построение отрезков по формулам, представляющим собой сумму, разность (x = a ± b), а также умножение или деление на целое число (x = ka, x = a/k) сводится к сложению или вычитанию отрезков, увеличению отрезка в заданное число раз и делению отрезка на заданное число равных частей (задачи 3.1 и 3.2).

Построение отрезков по формулам

,

сводится к построению прямоугольного треугольника по его катетам, либо гипотенузе и катету. В первом случае х – гипотенуза, во втором – катет.

Построение отрезка по формуле сводится к нахождению четвертого пропорционального отрезка. Для этого используется теорема о пересечении сторон угла параллельными прямыми.

Построение отрезка по формуле удобно выполнять, используя теорему о перпендикуляре, опущенном из произвольной точки окружности на ее диаметр. Построение отрезков по формулам, являющимся комбинациями приведенных выше формул, выполняется введением вспомогательных неизвестных отрезков и последовательным их построением. Формулы сложного вида представляются в виде суперпозиции (комбинации) перечисленных выше формул. Например:

Если не задан единичный отрезок, то по формулам x = a², x = 1/a, построить отрезок х невозможно. Если единичный отрезок задан, то построение осуществляется просто:

Приведем примеры построения отрезков, выраженных формулами.

Пример 1.

где y = a + b, z = b - c, t = a + c.

Пример 2.

где y = a + b, z = a + c.