Все формулы Ньютона-Котеса используют равноотстоящие координаты абсцисс. Если это ограничение снято, то узлы можно выбирать таким образом, чтобы понизить погрешность вычислений.
В выражении

x_i и ω_i взяты неизвестными и требуют определения. Общее число параметров равно 2(n+1). Полином порядка 2n+1 для своего однозначного определения требует 2n+2 узлов. Можно потребовать, чтобы погрешности аппроксимации равнялись нулю для всех полиномов до 2n+1 порядка включительно. При переходе к пределам интегрирования [-1, 1] искомые узлы xi оказываются равными корням многочленов Лежандра порядка (n+1).
Для перехода к пределам интегрирования [-1, 1] используется следующая замена переменных

которая преобразует исходный интеграл к виду

Корни многочленов Лежандра хорошо известны. Их значения для многочленов порядков 2-10 явно указаны в программе, осуществляющей интегрирование по методу Гаусса.