Фигурой в геометрии называют любую совокупность точек (содержащую по крайней мере одну точку).

Будем предполагать, что в пространстве дана некоторая плоскость, которую назовём основной плоскостью. Ограничимся рассмотрением только таких фигур, которые принадлежат этой плоскости.

Примерами фигур могут служить:

• точка;
• пара точек;
• прямая (рассматриваемая как совокупность принадлежащих ей точек);
• пара параллельных прямых; отрезок (фигура, состоящая из двух точек и всех точек прямой, лежащих между ними);
• интервал, или открытый отрезок (совокупность всех точек, лежащих между двумя данными точками прямой);
• луч (фигура, состоящая из некоторой точки прямой и всех точек этой прямой, расположенных по одну сторону от этой точки);
• окружность (совокупность всех точек плоскости отстоящих на данное расстояние от некоторой данной точки этой плоскости);
• круг (совокупность всех точек плоскости, расстояния которых от данной в этой плоскости точки не превышают длины данного отрезка) и др.

Одна фигура называется частью другой фигуры, если каждая точка первой фигуры принадлежит второй фигуре. Так, например, частями прямой будут: всякий лежащий на ней отрезок, лежащий на этой прямой луч, точка на этой прямой, сама прямая.

Соединением двух или нескольких фигур называется совокупность всех точек, принадлежащих хотя бы одной из этих фигур. Соединение фигур Ф1 и Ф2 обозначают так: Ф₁ + Ф₂ или Ф₁ υ Ф₂.

Пересечением, или общей частью двух или нескольких фигур,называется совокупность всех точек, которые являются общими для этихфигур. Пересечение двух фигур Ф₁ и Ф₂ обозначают так: Ф₁·Ф₂ или Ф₁ ∩ Ф₂.

Пример. Если расстояние прямой от центра окружности меньшерадиуса этой окружности, то пересечение прямой с окружностьюпредставляет пару точек. Если расстояние прямой от центра окружностиравно радиусу окружности (случай касания), то пересечением будет однаточка (точка касания).

Разностью двух фигур Ф₁ и Ф₂ называется совокупность всех таких точек фигуры Ф₁, которые не принадлежат фигуре Ф₂. Разность фигур Ф₁ и Ф₂ обозначается так: Ф₁\Ф₂. Например, разность между прямой и лежащим на ней интервалом есть совокупность двух лучей, принадлежащих этой прямой.

Может оказаться, что пересечение (или разность) двух фигур несодержит ни одной точки. В этом случае говорят, что пересечение (илисоответственно разность) данных фигур есть пустое множество точек. Так,пересечение прямой с окружностью будет пустым множеством, еслирасстояние прямой от центра окружности окажется больше радиуса этойокружности. Разность между интервалом прямой и всей прямой есть пустоемножество.

Раздел геометрии, в котором изучаются геометрические построения, называют конструктивной геометрией. Основным понятием конструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру.

Мы примем это понятие без определения. Конкретный его смысл известениз практики, где оно означает то же, что «начертить», «провести»(линию), «отметить» (точку) и т. п. В интересах логической строгостиизложения необходимо чётко формулировать те основные требования(постулаты), которыми характеризуется это понятие. Эти требованияобычно не формулируются в условиях школьного курса элементарнойгеометрии, но они подразумеваются в процессе решения любойгеометрической задачи на построение как нечто само собой разумеющееся.Основные требования (постулаты) конструктивной геометрии выражают вабстрактной форме наиболее существенные моменты чертёжной практики. Ониявляются аксиомами, принимаются без доказательства и служат вдальнейшем логической основой конструктивной геометрии.

Если о какой-либо фигуре сказано, что она дана, то при этоместественно подразумевается, что она уже изображена, начерчена, т. е.построена. Таким образом, первое основное требование конструктивнойгеометрии состоит в следующем:

I. Каждая данная фигура построена.

Заметим, что не следует смешивать понятия «данная фигура» и «фигура,заданная (или определённая) такими-то данными её элементами». Впоследнем случае дана не сама фигура, а лишь некоторые её элементы,которые определяют положение этой фигуры. Например, если даны две точкипрямой, то существует единственная прямая, соединяющая эти точки, т. е.эта прямая определена двумя точками, но это не означает, что прямая этапостроена (начерчена).

II. Если построены две (или более) фигуры, то построено и соединение этих фигур.

III. Если построены две фигуры, то можно установить, является ли их разность пустым множеством или нет.

IV. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то эта разность построена.

Построив две прямые, мы всегда считаем возможным сказать,пересекаются они или нет. Точно так же, если две окружности построены,то мы считаем возможным установить (по чертежу), имеют ли они общиеточки. Это же относится к любым двум построенным фигурам. Такимобразом:

V. Если две фигуры построены, то можно установить, является ли их пересечение пустым множеством или нет.

С точки зрения чертёжной практики последнее условие отражаетопределённые требования к качеству выполненных чертежей. Так, например,если построены некоторая окружность и точка, то должно быть ясно, лежитли точка на окружности или нет. Если построены две окружности, то можносказать, имеют ли они общие точки или нет.

VI. Если пересечение двух построенных фигур не пусто, то оно построено.

В следующих трёх основных требованиях говорится о возможностях построения отдельных точек.

VII. Можно построить любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют.

VIII. Можно построить точку, заведомо принадлежащую построенной фигуре.

IX. Можно построить точку, заведомо не принадлежащую построеннойфигуре (если не все точки плоскости принадлежат построенной фигуре).

В дальнейшем требования I—IX называются общими аксиомами конструктивной геометрии.