Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что A + B + C = 180°.
Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС.

Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому 4 = 1, 5 = 3. (1)

Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т.е. 4 + 2 + 5 = 180°. Отсюда, учитывая равенства
(1), получаем: 1 + 2 + 3 = 180°, или А + В + С=180°. Теорема доказана.

Теорема
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство
Обратимся к рисунку, на котором угол 4 - внешний угол, смежный с углом 3 данного треугольника. Так как по теореме о сумме углов треугольника (1 + 2) + 3 = 180°, что и требовалось доказать.

Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

В треугольнике:
1) против большей стороны лежит больший угол;
2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.


Следствие 1

В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
В самом деле, гипотенуза лежит против прямого угла, а катет — против острого. Так как прямой угол больше острого, то гипотенуза больше катета.

Следствие 2

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).