Casimiri efekti teooria

Casimiri jõud on põhjustatud elektromagnetilise kvantvälja vaakumi reaktsioonist vaakumis asuvate juhtivate pindade poolt määratud ääretingimustele.

Tuletame kahe tasaparalleelse metallplaadi vahel mõjuva Casimiri jõu avaldise, järgides selle avastaja mõttekäiku Bordag'i jt ülevaateartikli järgi. Lihtsaim võimalus on käsitleda ideaalselt juhtivaid ja siledaid plaate absoluutsel nulltemperatuuril.

Olgu kaks paralleelset juhtivat plaati pindalaga S teineteisest kaugusel a, mis on plaatide mõõtmetega võrreldes väike. Plaadid määravad elektromagnetvälja jaoks klassikalisest elektrodünaamikast teadaolevad ääretingimused: elektrivälja E ristkomponent ja magnetvälja H normaalkomponent on ideaalselt juhtival pinnal S nullid:

Siin indeks t tähistab pinnaga S paralleelset tangentsiaalkomponenti ja indeks n pinna välisnormaali. Need tingimused tähendavad, et elektromagnetväli saab olla nullist erinev ainult väljaspool ideaalset juhtivat ainet.
Käsitleme elektromagnetvälja harmooniliste ostsillaatorite lõpmatu hulgana. Ostsillaatorite ringsagedused on , kus c on valguse kiirus vaakumis ja k footoni lainevektor, mida tühjas (ilma plaatideta) ruumis nummerdab indeks . Tühjas (ilma plaatideta) ruumis on kõik -d pidevad. Plaatide vahel , kus on kahemõõtmeline vektor ja n täisarv. Vastavad sagedused plaatide vahel on sellised:
Elektromagnetvälja nullvõnkumiste energia on
Summa on siin üle kõigi sageduste, summeerimine ka üle täisarvu n negatiivsete väärtuste arvestab footoni kaht võimalikku polarisatsiooni. Asendades siia leitud sagedused, saame elektromagnetvälja nullenergia plaatide vahel:
See energia on lõpmatu (ultravioletne hajumine).
Lõpmatusest möödasaamiseks kasutatakse kvantväljateoorias regulariseerimist - tuuakse sisse parameetrist sõltuv tegur, mis muudab summa lõplikuks ja seejärel kõrvaldatakse see parameeter teooriast sobiva piirväärtuse valikuga. Casimiri originaaltöös lisati selleks summa alla eksponentsiaalne sageduse "kustumistegur" , mis vähendab kõrgete sageduste mõju summale. Seejärel avaldub plaatidevahelise välja nullenergia kujul:
korral on see avaldis lõpliku väärtusega ja regulariseerimise piirväärtuseks on . Regulariseerimiseks on ka teisi võimalusi (nt kompleksmuutujast sõltuv zeta-funktsioon), kuid lõpptulemus ei tohi selle matemaatilise võtte valikust sõltuda.
Tühjas ruumis (ilma plaatideta) on elektromagnetvälja regulariseeritud nullenergia
kus on plaatidega risti olev mõõde ja sagedused on seotud lainevektoritega, mille kõik komponendid on pidevad (erinevalt plaatidevahelisest ruumist, kus väärtused on diskreetsed).
Et leida plaatidevahelise elektromagnetvälja nullenergia erinevust tühja ruumi omast (seda nimetatakse renormeeritud energiaks), lahutame plaatidevahelise välja nullenergiast tühja ruumi nullenergia:
kus
Renormeeritud energia väljaarvutamiseks kasutame Abel-Plana valemit:
kus on paremas pooltasandis analüütiline funktsioon. See annab:
kus on dimensioonita radiaalkoordinaat -tasandis. Integraalide koonduvuse tõttu võisime võtta integraalide all .
Integreerimisjärjekorra vahetamisel saame renormeeritud nullenergiaks
Plaatidevaheline jõud on selle energia tuletis plaatidevahelise kauguse järgi:
Saimegi tuntud avaldise Casimiri jõu jaoks lihtsaima mudeli korral (ideaalselt tasased, paralleelsed ja juhtivad plaadid vaakumis absoluutsel nulltemperatuuril).

Casimiri jõu avaldis konkreetses süsteemis sõltub kehade kujust, asetusest ja materjalist. Näiteks kui üks plaatidest asendada keraga raadiusega R, siis avaldub kera ja plaadi vaheline Casimiri jõud analoogse tuletuskäigu põhjal kujul

Casimiri efekti teooriat on edasi arendatud, võttes arvesse reaalsete ainete lõplikku juhtivust, pindade ebatasasust, nullist erinevaid temperatuure, kehade erinevaid kujusid ja asetusi, kehade asendi ja omaduste võimalikku sõltuvust ajast jt. Erinevate täppismõõtmiste tulemused on teooriaga kooskõlas 1% täpsusega.