Через две данные точки А и В провести окружность данного радиуса r.
Из точек А и В проводим дуги аb и cd радиусом r. Точка их пересечения О есть центр искомой окружности.
Задача 4.2.
Через три данные точки А, В, С (не лежащие на одной прямой) провести окружность.
Проводим перпендикуляры ED и KL к отрезкам АС и ВС через их середины (см. задачу 3.1). Точка пересечения этих перпендикуляров О есть центр искомой окружности.
Задача 4.3.
Найти центр данной дуги окружности.
На данной дуге выбираем три точки (по возможности далеко отстоящие друг от друга). Затем поступаем, как в предыдущей задаче.
Задача 4.4.
Разделить пополам данную дугу окружности.
Концы дуги соединяем хордой. Проводим перпендикуляр через середину хорды (см. задачу 3.1). Он разделит дугу (и хорду) пополам.
Задача 4.5.
Найти геометрическое место точек, из которых данный отрезок АВ виден под данным углом α.
Искомое место представляет собой две дуги равных окружностей, опирающиеся концами в точки А и В (сами точки А и В не принадлежат геометрическому месту). Центры этих дуг находятся так: проводим перпендикуляры AD и ВК в концах отрезка АВ (см. задачу 1.2). Строим угол KBL = а. В пересечении BL и AD находим точку С. Середина отрезка ВС есть центр одной из искомых дуг. Другая дуга строится так же.
Задача 4.6.
Провести через данную точку А касательную к данной окружности.
Если точка А лежит на окружности, строим ВАС перпендикулярно радиусу ОА (см. задачу 1.2); СВ — искомая касательная.
Если А лежит вне круга, делим АО пополам (см. задачу 3.1) и из середины В проводим радиусом ВО дугу CD. Точки D и С соединяем прямыми с Аг Прямые AD и АС — искомые касательные.
Задача 4.7.
Провести к данным двум окружностям общую внешнюю касательную.
Если радиусы данных окружностей равны между собой, то задача всегда имеет два решения. Через центры А и В проводим диаметры КК1 и LL1, перпендикулярные линии центров АВ. Проведя KL и K1L1, имеем искомые решения.
Пусть радиусы данных окружностей не равны: R > r; из центра большого круга проводим окружность радиусом АС = R — r.
К ней проводим касательную ВС из центра В меньшего круга (задача 4.6). Центр А соединяем с точкой касания С прямой. Продолжаем ее и получаем на большей окружности точку D). Проводим BE перпендикулярно ВС до пересечения в точке Е с меньшей окружностью. Точки D и Е соединяем. Прямая DE — искомая касательная. Задача допускает два решения (DE и D1E1), если меньший круг не лежит целиком внутри большего. Если меньший круг целиком лежит внутри большего, то задача не имеет решений.
В промежуточном случае, когда окружности имеют внутреннее касание, задача имеет одно решение: через точку внутреннего касания М проводим KL | AM.
Задача 4.8.
Провести к двум данным окружностям общую внутреннюю касательную.
Задача не имеет решения, если один из кругов лежит внутри другого, а также если данные круги пересекаются. В случае внешнего касания задача имеет одно решение: через точку М проводим KL | АВ.
В остальных случаях имеем два решения (DE и D1E1). Из центра А проводим окружность радиусом, равным сумме радиусов данных окружностей Из центра В проводим касательную ВС к построенной окружности (задача 4.6). Точку касания С и центр А соединяем прямой АС; последняя пересечет окружность (А) в точке D. Из В проводим радиус BE | ВС. Его конец Е соединяем с D, ED — искомая касательная. Так же строится и другая касательная E1D1.
