GEV ja GPD duaalsus

Eelnevalt nägime, et (teatud tingimustel) on jaotusest F pärit valimi maksimumi ligikaudseks jaotuseks üldistatud ekstremaalväärtuste jaotus. Et see nii oleks, selleks on piisavaks tingimuseks jaotuse F pidevus.

Kehtigu mingite μ′ , σ′ ja ξ korral

{ } [ ( x - μ′) ]-1∕ξ [F(anx + bn)]n → exp - 1 + ξ ---′-- , σ +

mistahes reaalarvulise x korral.

Sellest võime järeldada, et mingite μ , σ ja ξ korral

[ ( )] -1∕ξ n log[F (x)] ≈ - 1 + ξ x---μ- σ +

ja seda mistahes x korral.

Kui nüüd x on jaotuse parempoolsele otspunktile lähedal, siis F(x ) ≈ 1 ja järelikult logF(x) ≈ F(x ) - 1 ehk -- - log F (x ) ≈ F(x ) , mistõttu suure u korral

[ ( )]- 1∕ξ FÆ(u) ≈ 1- 1 + ξ u---μ- n σ +

Seega võime suure u ja y > 0 korral kirjutada, et

[ ]- 1∕ξ ℙ(X > u + y|X > u) ≈ 1-+-ξ(u-+-y---μ-)∕-σ 1 + ξ(u - μ )∕ σ + [ ]-1∕ξ = 1 + -----ξy------ σ + ξ(u - μ ) + [ ]-1∕ξ = 1 + ξy- , σu +

mis ongi üldistatud Pareto jaotus. Näeme, et pärast lävendi u fikseerimist on võimalik piirduda kahe parameetriga, lisaks "saame valimisse võtta" kõik väärtused, mis jaotuse sabaosa kohta informatsiooni peaksid andma ehk parameetreid on vähem kui üldistatud ekstremaalväärtuste jaotusel ning valimi ekstremaalsete väärtuste kasutus on efektiivsem.

« Eelmine | Järgmine »