Четырехугольники
Параллелограмм
Параллелограммом называется четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
Свойства и признаки параллелограмма
- Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.
- Противоположные стороны параллелограмма попарно равны.
- Противоположные углы параллелограмма попарно равны.
- Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
- Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
- Если две противоположные стороны четырёхугольника равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
- Если диагонали четырёхугольника делятся точкой пересечения пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Свойство середин сторон четырёхугольника
Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, площадь которого равна половине площади четырехугольника.
Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм с прямым углом.
Свойства и признаки прямоугольника
- Диагонали прямоугольника равны.
- Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Квадрат
Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны.
Ромб
Ромбом называется четырёхугольник, все стороны которого равны.
Свойства и признаки ромба
- Диагонали ромба перпендикулярны.
- Диагонали ромба делят его углы пополам.
- Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб.
- Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм – ромб.
Трапеция
Трапецией называется четырёхугольник, у которого только две противоположные стороны (основания) параллельны.
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины непараллельных сторон (боковых сторон).
Теорема о средней линии трапеции
- Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
- Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
Замечательное свойство трапеции
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Равнобедренная трапеция
Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
- Углы при основании равнобедренной трапеции равны.
- Диагонали равнобедренной трапеции равны.
- Если углы при основании трапеции равны, то она равнобедренная.
- Если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.
- Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали – полусумме оснований.