Jaotust iseloomustavad funktsioonid

Jaotuse saba raskuse kohta on võimalik informatsiooni saada kasutades selleks mõningaid muid jaotust (juhuslikku suurust) iseloomustavaid funktsioone.

Definitsioon 2.1. Juhusliku suuruse X jaotusfunktsiooni F (x) täiendfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni

FÆ(x) = 1 - F (x ) = ℙ(X > x).

 

Definitsioonist tulenevalt on tegu mittekasvava paremalt pideva funktsiooniga. Seda funktsiooni tuntakse elukestusanalüüsist lähtuvalt ka nime all survival function.

Tundub loogiline kasutada kahe jaotuse saba võrdlemiseks jaotusfunktsiooni täiendfunktsioone. Olgu need vastavalt Æ F1 (x) ja Æ F2 (x) . Kui

Æ lim F1-(x) = ∞, x→∞ FÆ2 (x)

siis ütleme, et jaotusfunktsiooni täiendfunktsioonile Æ F1 (x ) vastav jaotus on raskema sabaga kui jaotusfunktsiooni täiendfunktsioonile Æ F2(x) vastav jaotus. L’Hospitali reegli abil on aga selge, et see definitsioon on samaväärne eelnevalt toodud tihedusfunktsioonide võrdlemisel põhineva definitsiooniga.

Definitsioon 2.2. Juhusliku suuruse X riskifunktsiooniks nimetatakse funktsiooni

f(x ) h (x ) = Æ----, F (x )

kus f(x) on X tihedusfunktsioon ja ÆF(x) on X jaotusfunktsiooni täiendfunktsioon.

(Pideva) juhusliku suuruse X riskifunktsioon kohal x on seega X tinglik tihedus kohal x tingimusel, et X ≥ x . Seega kui juhusliku suuruse riskifunktsioon on kahanev funktsioon siis järelikult "juhusliku suuruse suurte väärtuste korral on antud konkreetse väärtuse tõenäosus vähenev ja suuremate väärtuste tõenäosus kasvav". Selline omadus on iseloomulik just raskete sabadega jaotustele. Kui aga riskifunktsioon on kasvav, siis on jaotusel kerge saba. Selline liigitus seab piiriks eksponentjaotuse – see on jaotus, mille riskifunktsioon on konstantne. Riskifunktsiooni inglisekeelseks vasteks on üldjuhul hazard rate.

Definitsioon 2.3. Juhusliku suuruse X keskmise jääkeluea funktsiooniks nimetatakse tinglikku keskväärtust

e(x) = E(X - x|X > x).

 

Seda funktsiooni tuntakse inglise keeles nimetuste mean residual life function ja mean excess loss function all. Kui juhusliku suuruse keskmise jääkeluea funktsioon on kasvav, siis järelikult "juhusliku suuruse suurte väärtuste korral on antud konkreetse väärtuse keskmine ületamine kasvav" ja seega on tegu raske sabaga jaotusega. Samas kahanev keskmise jääkeluea funktsioon viitab kergele sabale. Siingi on jaotuseks, mis jääb piirile (ehk konstantse keskmise jääkeluea funktsiooniga), just eksponentjaotus.

Ositi integreerides saame

∫ ∫ ∫ ∞ (y - x )f (y)dy - (y - x)FÆ(y)|∞ + ∞ ÆF(y )dy ∞ ÆF (y )dy e(x) = -x-----Æ--------- = ------------Æ-x----x----------= -x--Æ------, F (x) F (x ) F (x)

mille põhjal kehtib

1 + e′(x ) h (x) = ---------. e(x)

 

 

 

« Eelmine | Järgmine »