Geomeetrilise stabiilsuse definitsioon ja tähtsus

Geomeetriliselt stabiilsete jaotuste esindajad

Definitsioon 15.1. Olgu $N$ geomeetrilise jaotusega juhuslik suurus parameetriga $p∈(0,1)$ s.o. iga naturaalarvulise $k$ korral

ℙ(N = k) = p(1 - p)k-1.

Ütleme, et juhuslik suurus $Y$ on geomeetriliselt stabiilne (või geomeetriliselt stabiilse jaotusega või et jaotus on geomeetriliselt stabiilne) kui mingi sõltumatute ja sama jaotusega juhuslike suuruste jada $X1, X2, ...$ , mis on sõltumatu ka juhuslikust suurusest $N$ , korral leiduvad normeerimiskonstandid $ap$ ja $bp > 0$ nii, et

∑N Xi - ap d -------- → Y i=1 bp

protsessis $p → 0$ .

Asjaolu, et selline mittekõdunud piirjaotus üldse olemas on saab ilmseks, kui vaatleme liidetavate rollis standardset eksponentjaotust. Olgu $p ∈ (0,1)$ ja

∑N Y = p Xi, i=1

kus $N$ on geomeetrilise jaotusega nagu enne. Seega on tegu geomeetrilise summaga ning võime asuda otsima piirjaotust. Täpsemalt, üritame leida $Y$ tihedusfunktsiooni. Kuivõrd

( ) ∑N x ℙ(Y ≤ x) = ℙ Xi ≤ -- i=1 p

siis on $Y$ tihedus leitav kohal $x$ leitav kui $1∕p$ osa juhusliku suuruse $∑N Xi i=1$ tihedusest kohal $x∕p$ . Et $∑N i=1 Xi$ näol on tegu jaotuste diskreetse seguga ja me teame, et sõltumatuid eksponentjaotusega juhuslikke suurusi summeerides on meil tulemuseks gamma jaotus (mille esimene parameeter võrdub liidetavate arvuga) siis saame, et

(x)i- 1 -x∕p i-1 (x)i- 1 1-∑∞ -p-----e----- i- 1 -x∕p∑∞ (1 --p)----p----- fY (x) = p Γ (i) p(1 - p) = e (i - 1)! , i=1 i=1

kus lõpmatus summas tunneme ära exsponentfunktsiooni Taylori rea ning seega

fY (x ) = e-x∕pe (1-p)x∕p = e- x

ehk piirjaotuseks on siin standardne eksponentjaotus (kusjuures meil ei tarvitsenud isegi vaadata olukorda $p → 0$ ) ja seega eksponentjaotus on geomeetriliselt stabiilne.

Üldisemalt aga kehtib Rényi teoreem, mis ütleb, et juhul kui positiivsetel liidetavatel on olemas lõplik keskväärtus siis saame normeeritud summa

∑N p Xi i=1

piirjaotuseks protsessis $p → 0$ alati eksponentjaotuse. Kui liidetavad on aga sümmeetrilise jaotusega ja lõpliku dispersiooniga siis on summa

∑N √p-- Xi i=1

piirjaotuseks (nullpunkti suhtes sümmeetriline) Laplace’i jaotus.

« Eelmine | Järgmine »