Üldistatud tsentraalse piirteoreemi kasutamine

Esmalt toome sisse uue mõiste ja ütleme, et jaotus $F$ kuulub $α$ -stabiilse jaotusetõmbepiirkonda kui stabiilne jaotus kujuparameetriga $α$ esineb jaotusega $F$ iidjuhuslike suuruste normeeritud summa piirjaotusena. Seega kõik lõpliku dispersioonigajaotused (või juhuslikud suurused) kuuluvad $2$ -stabiilse jaotuse (ehk normaaljaotuse)tõmbepiirkonda.

Teame, et lõpliku dispersiooni eeldusel saame, normeerimiskonstandid $an$ ja $bn$ esitadavastavalt jaotuse keskväärtuse ja standardhälbe abil. Kui teine moment ei ole lõplik, siislangeb selline võimalus kindlasti ära. Tegelikkuses on standardhälbest olulisem hoobis $bn$ järk – nimelt kui piirjaotusel $α = 2$ (ehk piirjaotuse näol on tegu normaaljaotusega), siison normeerimiskonstandil $bn$ kuju $n1∕2C$ . Lootus, et kui näiteks jaotusel onolemas lõplik keskväärtus, siis võiksime võtta normeerimiskonstandi kujul $nC$ ei oleõigustatud.

Nimelt kehtib (Marcinkiewicz-Zygmund’i) suurte arvude seaduse versioon, mis ütleb, etparajasti siis kui $E (X )p < ∞$ mingi $p ∈ (0,2)$ korral, kehtib mingi reaalarvulise $a$ korralpeaaegu kindlasti

Sn - a n ----1∕p---→ 0. n

Samas kui $pE(X ) = ∞$ mingi $p ∈ (0,2)$ korral, siis iga reaalarvulise $a$ korral peaaegukindlasti

lim sup Sn---a-n-= ∞. n→ ∞ n1 ∕p

Seega, veidi ebatäpselt väljendudes, kui loodame mittekõdunud piirjaotust siispeaks skaleermiskonstant olema veidi madalamat järku kui viimase veel eksisteerivamomendi järgu pöördväärtus. Seega näiteks kui jaotus on selline, et $E(X )p < ∞$ parajasti siis kui $p < 1$ , siis on eksisteerivate momentide järkude pöördväärtusedkirja pandavad kui $(1,∞ )$ (vaatleme ainult positiivseid $p$ väärtusi) ja seegaon oodata, et sobiv skaleerimiskonstant on järku $n$ , sest ilmselt lubades liigamadalat järku skaleerimikonstanti oleks tulemuseks liiga suur hajuvus ja piirjaotust eieksisteeriks.

Täpsemalt on eelnev sõnud mirja pandav aeglaselt varieeruva funktsiooni mõiste abil Ütleme,et funktsioon $f$ on aeglaselt varieeruv kui iga $t > 0$ korral $f (tx)∕f (x) → 1$ protsessis $x→∞$ . Seega on aeglaselt varieeruv näiteks konstantne funktsioon aga ka näitekslogaritmfunktsioon.

Sel juhul saab öelda, et kui juhuslik suurus $X$ kuulub $α$ -stabiilse jaotuse tõmbepiirkonda,siis võib tsentreerimiskonstandiks valida $a = E (X )nn$ juhul kui $α > 1$ ja $a = 0n$ vastaseljuhul ning skaleerimiskonstant avaldub kujul

1∕α bn = n L(n ),

kus $L$ on sobilik aeglaselt varieeruv funktsioon. Nii normeerimiskonstandid validessaame

Sn---an- d b → G α, n

kus $Gα$ on stabiilne jaotus kujuparameetriga $α$ .

« Eelmine | Järgmine »