Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с.

Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b так, как показано на рисунке.

Площадь S этого квадрата равна (а + b)². С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 1/2·аb, и квадрата со стороной с, поэтому

S = 4·1/2ab + c² = 2ab + c²

Таким образом,

(a + b)² = 2ab + c².

с² = а² + b².

Теорема доказана.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

Доказательство.

Пусть в треугольнике АВС АВ² = АС² + ВС². Докажем, что угол С прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник А₁В₁С₁ с прямым углом С₁, у которого А₁С₁ = AC и В₁С₁ = ВС. По теореме Пифагора А₁В₁² = А₁С₁² + B₁С₁², и, значит, А₁В₁² = АС² + ВС². Но АС² + ВС² = АВ² по условию теоремы. Следовательно, A₁B₁² = AB² откуда A₁B₁ = AB.

Треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны по трем сторонам, поэтому углы С и С₁ равны, т. е. треугольник АВС прямоугольный с прямым углом С. Теорема доказана.