Теорема

Квадрат сторон треугольников равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Доказательство.

Пусть в треугольнике ABC AB = c, BC = a, CA = b. Докажем, например, что

a² = b² + c² – 2 bc cosA (1)

Введем систему координат с началом в точке А так, как показано на рисунке.

Тогда точка В имеет координаты (С; 0), а точка С имеет координаты (b cos A; b sin А). По формуле расстояния между двумя точками получаем:

BC² = a² = (b cos A – c)² + b²sin²A = b²cos²A + b²sin²A – 2bc cos A + c² = b² + с² – 2 bc cos A.

Теорема доказана.

Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора. В самом деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то соs A = cos 90° = 0 и по формуле (1) получаем

a² = b² + c²,

т.е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.