В модели Марковица допустимыми являются только стандартные портфели (без коротких позиций). Это значит, что на значения x_i (процентные доли ценных бумаг) накладываются два ограничения: Σx_i, =1 и x_i > 0.

Экономико-математическая модель задачи формирования оптимального портфеля максимальной эффективности при которой риск портфеля не превышает заданного значения δ_р, примет вид:

Обратная задача оптимизации портфеля сводится к выбору такой структуры портфеля, доходность которого выше либо равна заданному значению m_p, а риск минимален. Экономико-математическая модель задачи в этом случае примет вид:

Пример задачи

Найти оптимальный портфель максимальной эффективности для трех некоррелированных ценных бумаг с доходностью и риском: (4, 10); (10, 40); (40, 80); верхняя граница риска задана равной 50. Определить доли ценных бумаг в портфеле, минимальный риск и доходность.

Математическая формулировка задачи

Обозначим х1, х2 и х3 доли рисковых бумаг в портфеле. Так как входящие в состав портфеля ценные бумаги неоррелированные, то коэффициент корреляции r_ij=0. Экономико-математическая модель задачи имеет вид:

Решение задачи средствами MS Excel

MS Excel На рисунках представлены фрагмент рабочего листа MS Excel с исходными данными и решением задач и окон параметров надстройки Solver.