Описать окружность около данного треугольника ABC.
Через вершины А, B, С проводим окружность (см. задачу 4.2).
Задача 6.2.
Вписать окружность в данный треугольник ABC.
Делим пополам два угла треугольника, например, А и С (см. задачу 2.4). Из точки О пересечения биссектрис проводим OD | АС (см. п. 6). Радиусом OD описываем искомую окружность.
Задача 6.3.
Описать окружность около данного прямоугольника (или квадрата) ABCD.
Проводим диагонали BD и АС. Из точки О их пересечения проводим окружность радиусом ОА.
Около косоугольного параллелограмма описать окружность нельзя.
Задача 6.4.
Вписать окружность в ромб (или квадрат) ABCD.
Из точки О пересечения диагоналей проводим ОЕ | АВ. Окружность с центром О и радиусом ОЕ — искомая.
В неравносторонний параллелограмм вписать окружность нельзя.
Задача 6.5.
Описать окружность около данного правильного многоугольника.
Если число сторон четно, соединяем прямыми АВ и CD две любые пары противоположных вершин. Из точки их пересечения О радиусом ОА описываем окружность.
Если число сторон нечетно, опускаем из двух любых вершин К и М перпендикуляры KL и MN на противоположные стороны. Из точки их пересечения О радиусом ОК описываем окружность.
Задача 6.6.
Вписать окружность в данный правильный многоугольник.
Центр окружности находится, как в предыдущей задаче. Из центра опускаем перпендикуляр ON на одну из сторон (см. рис. 47). Радиусом ON (или OLy см. рис. 48) описываем окружность.
Задача 6.7.
Вписать квадрат в данный круг.
Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD; ACBD — искомый квадрат.
Задача 6.8.
Описать квадрат около данного круга.
Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD (рис. 53). Из их концов, как из центров, описываем четыре полуокружности радиусами, равными ОА. Точки F, G, Н и Е их пересечения — вершины искомого квадрата.
Задача 6.9.
Вписать правильный пятиугольник в данный круг.
Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ и CD.
Делим пополам радиус АО в точке Е. Из Е радиусом ЕС проводим дугу CF, пересекая ею диаметр АВ в точке F. Из С радиусом CF проводим дугу FG, пересекая ею данную окружность в точке G; CG (= CF) есть одна сторона искомой фигуры. Проводим тем же радиусом дугу mn из центра G, получаем еще одну вершину Н искомой фигуры и т. д.
Задача 6.10.
Вписать в данный круг правильный шестиугольник и треугольник.
Раствором циркуля, равным радиусу круга, делаем на окружности засечки в точках А, В, С, D, E, F. Соединяя точки А, В, С, D, Еу F подряд, получим правильный шестиугольник. Соединяя их через одну, получим правильный (равносторонний) треугольник.
Задача 6.11.
Вписать правильный восьмиугольник в данный круг.
Проводим два взаимно перпендикулярных диаметра АВ, CD. Разделив пополам дуги AD, DB, ВС, СА точками Е, F, G, Я (п. 15), последовательно соединяем полученные восемь точек.
OF есть сторона искомой фигуры. Раствором циркуля, равным OF, сделаем на окружности десять последовательных засечек. Получим вершины искомой фигуры. Правильные многоугольники, вписанные в круг и имеющие семь и девять сторон, не могут быть точно построены только с помощью циркуля и линейки.
Задача 6.13.
Около данного круга описать правильный треугольник, пятиугольник, шестиугольник, восьмиугольник, десятиугольник.
Отметим на окружности вершины А, В, ..., F правильного вписанного многоугольника с тем же числом сторон (см. задачи 6.9 - 6.12). Проведем радиусы ОА, ОВ, ..., OF и продолжим их. Дугу АВ разделим пополам точкой G (см. задачу 4.4). Через Е проведем JP A. OG. Отрезок JP, заключенный между продолжениями соседних радиусов, есть сторона искомой фигуры. На продолжении остальных радиусов откладываем отрезки OK, OL, ..., ON, равные ОР. Точки J, K,L, ...,N, P последовательно соединяем. Многоугольник JKLM ... NP – искомый.
