Normal and anomalously slow diffusion under external fields
Abstract
In the present thesis we investigated normal and anomalously slow diffusion under the influence of forces periodic in space and diffusion with anomalously slow relaxation under the influence of forces changing in time, focusing on one-dimensional models. The motivation for such studies comes from condensed matter phyics, materials science, chemical physics, nanotechnology, and molecular biology.
Concerning the processes undergoing normal diffusion, the transport of Brownian particles on periodic substrates with one and two minima per period in the presence and in the absence of an external applied bias was studied. We used piecewise linear potentials which allowed us to derive the analytical expressions for the current and diffusion coefficient. We also investigated the diffusion of dimers consisting of two harmonically interacting Brownian monomers in a washboard potential, comparing the results with that of a single monomer.
Concerning the anomalously slow diffusion in periodic substrates, the Lifson-Jackson result for the diffusion coefficient in a periodic potential and the Stratonovich solution for the stationary current in a washboard potential were generalized to the case of anomalous transport.
Finally, the dynamics of anomalously slow processes in time-varying potential landscapes were discussed within the continuous time random walk and fractional Fokker-Planck equation descriptions. It was demonstrated that the common form of the fractional Fokker-Planck equation is not valid for time-dependent forces. A modified form of the fractional Fokker-Planck equation was derived, valid, however, for dichotomously alternating fields only. As an exactly solvable example, a periodic rectangular force was studied; the behavior of the transport was found to be very different compared to the case of normal transport processes.
Description
Käesolevas doktoritöös on uuritud normaalset ning anomaalselt aeglast difusiooni ruumis perioodilistes jõuväljades ning anomaalselt aeglase relaksatsiooniga difusiooniprotsesse ajas muutuvates jõuväljades. Vaadeldud on ühedimensionaalseid süsteeme. Uuritud probleemid on olulised kondenseeritud aine füüsikas, materjaliteaduses, keemilises füüsikas, nanotehnoloogias ning molekulaarbioloogias.
Seoses normaalse difusiooniga on uuritud Browni osakeste transporti perioodilistel struktuuridel (ühe ning kahe miinimumiga perioodi kohta) välise rakendatud konstantse jõu olemasolul ning puudumisel. Kasutatud on tükati lineaarseid potentsiaale, mis võimaldasid tuletada täpsed analüütilised valemid voolu ning difusioonikoefitsiendi jaoks. Lisaks sellele on uuritud ka kahest harmooniliselt interakteeruvast Browni osakesest koosnevate dimeeride difusiooni kallutatud perioodilistel potentsiaalidel, võrreldes tulemusi monomeeri jaoks saadutega.
Uurides anomaalselt aeglast difusiooni perioodilistel substraatidel on leitud, et Lifson-Jacksoni tulemus difusioonikoefitsiendi jaoks perioodilistel potentsiaalidel ning Stratonovichi tulemus statsionaarse voolu jaoks kallutatud perioodilistel potentsiaalidel on üldistatavad ka anomaalse transpordi juhule.
Viimasena on uuritud anomaalselt aeglast difusiooni ajas muutvates jõuväljades ajas pideva uitliikumise ning fraktsionaalse Fokker-Plancki võrrandi formalismis. On näidatud, et fraktsionaalse Fokker-Plancki võrrandi tavapärane kuju ei ole sobiv kirjeldamaks subdifusiooni ajast sõltuvatel potentsiaalidel. Tuletatud on modifitseeritud fraktsionaalne Fokker-Plancki võrrand, mis on kehtiv siiski vaid dihotoomselt muutuvate väljade korral. Täpselt lahenduva näitena on uuritud ajas tükati konstantset perioodilist jõudu; leiti, et transport osutub siin olevat vägagi erinev võrreldes normaalse difusiooniga.