Arvusüsteemid

iDevice ikoon Sissejuhatus
Loodus on andnud inimesele viis sõrme ühel käel, kümme kahel käel kokku ja kakskümmend kokku koos mõlema jala varvastega. Kasutades seda looduse andi, arvutas inimene viie, kümne või siis kahekümne kaupa. Ainult kord ajaloos on inimene sellest reeglist taganenud: vanas Babüloonias arvutati kuuekümne kaupa. Õppinud arvutama, pidi inimene õppima arve ka mingite märkidega üles kirjutama. Seal, kus arvutamise aluseks oli kümme, pidi inimene leidma kümme arvumärki, mida hiljem hakati nimetama numbriteks; seal, kus alusarvuks oli võetud arv viis – viis märki, ja nii edasi.
Pärast pikaajalist võitlust mitme koolkonna vahel võitis kogu tsiviliseeritud maailmas kümnendsüsteem ja võeti kasutusele Indias leiutatud numbrimärgid, mille laenasid araablased ning mis seejärel juba Araabiamaade kaudu XIII sajandi matemaatiku ja kaupmehe Leonardo Fibonacci vahendusel Euroopasse jõudsid. Meile on need märgid hästi teada: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Need märgid ja positsioonisüsteem, mis tähendab seda, et igal numbril on oma kindel tähendus mitte ainult sõltuvalt graafilisest kujust, vaid ka kohast (positsioonist), millel ta asub teiste numbrite suhtes, rahuldas täielikult tavalisi inimesi ja õpetlasi kuni selle ajani, mil ilmusid arvutid. Arvude kümnendsüsteemis tähendab mitmekohalistes numbrites ühelist ainult paremalt esimene number. Paremalt teisel kohal number (teine positsioon) näitab kümnelisi, kolmandal kohal kohal – sajalisi, neljandal kohal – tuhandelisi jne. Ühesõnaga, iga järgmine koht kuulub arvu 10 järgmisele astmele. Arvutites osutus kümnendsüsteemi kasutamine väga ebamugavaks puhttehnilistel põhjustel: see vajanuks erakordselt keerulisi seadmeid. Seepärast loobusid konstruktorid kümnendsüsteemist. Elektronarvutites on arvud kirjutatud elementide abil, millel võib olla kaks püsivat seisundit. Kõige lihtsamaks osutus positsiooniline arvusüsteem, milles on vaja vaid kaht numbrit. Kõik aritmeetikatehted on selles süsteemis väga lihtsad, aga see, et nad sisaldavad palju märke ja näevad välja hirmuäratavalt pikad, ei valmista arvutile mingeid raskusi, sest arvuti sooritab tehteid silmapilkselt.

iDevice ikoon Definitsioon

Positsiooniline arvusüsteem on arvusüsteem, kus iga numbrimärgi väärtus sõltub tema asukohast (positsioonist ehk numbrikohast) antud arvus.


iDevice ikoon
Näiteks: arvud, mida meie igapäevasteks arvutusteks kasutame, on positsioonilise arvusüsteemiga: 356 ei ole võrdne 365-ga, sest numbrimärkide asukoht arvus on seotud arvu väärtusega. Esimeses arvus (356-s) tähistab numbrimärk '5' viit kümmet, teises (365-s) tähistab '5' viit ühte.

Samas, rooma numbrite puhul, mis ei ole positsiooniline arvusüsteem, tähistab märk V oma asukohast sõltumatult alati viit.

Kõige levinum arvusüsteem on kümnendsüsteem. Nimetus 'kümnendsüsteem' viitab sellele, et arvusüsteemi aluseks on 10.


iDevice ikoon Definitsioon

Positsioonilise arvusüsteemi aluseks nimetatakse fikseeritud arvu k, mis määrab arvusüsteemi ühel arvukohal olevate erinevate numbrite hulga.


iDevice ikoon

Kümnendsüsteemis (mida meie kasutame) on kümme numbrit: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Positsioonilises arvusüsteemis alusega k tähendab arv

summat

,

kus nj on k-ndsüsteemi number.

 

Näide:

Vaatame arvu 4723. Missugustest 'tükkidest' see arv koosneb?

4723 = 4000 + 700 + 20 + 3

Nüüd vaatame igat liidetavat eraldi ja mõtleme, millest need koosnevad:

Pane tähele, kuidas arvu iga numbri (4, 7, 2 ja 3) jaoks on leitud kordaja. Millist seaduspärasust märkame nende kordajate (1000, 100, 10 ja 1) kohta?

Need on kõik arvu 10 astmed, kusjuures astmenäitaja väheneb täpselt ühe võrra iga järgmise arvu jaoks.

Jah, ka 1 jaoks, sest .

Seega võiks kirjutada hoopis nii:

Arvu sellist kuju nimetatakse arvu kümnendesituseks.

Kümnendsüsteemi positsioone nimetatakse ka järkudeks: ühelised, kümnelised, sajalised jne. Vastavaid arvusüsteemi aluse täisarvulisi astmeid nimetatakse järgukaaludeks.


iDevide ikoon Ülesanne 1

Võrdle arvu 4723 viimast esitust (näide 1) positsioonilise arvusüsteemi arvu üldkujuga

Mis arv on siin k rollis? Aga n ja t?

iDevide ikoon Ülesanne 2
Pane näite 1 eeskujul kirja arvud 6078, 300, oma sünniaasta, käesolev aasta. Mis saab nullidest niisuguse esituse korral?
« Eelmine | Järgmine »