hp-FEM model of IPMC deformation

Abstract

Ioonjuhtivaid polümeer-metall komposiitmaterjale (edaspidi lühendatud IPMC ehk ionic polymer-metal composite) on uuritud juba vähemalt kaks aastakümmet nende huvipakkuvate omaduste tõttu. Võimalikeks kasutusaladeks on vaiksed aktuaatorid või sensorid. IPMC eelised teiste elektroaktiivsete polümeeride ees on töötamine madalal pingel (1...5V), suur paindeulatus, ja toimimine veekeskkonnas. Kuigi põhiliselt on uuritud materjalide omadusi aktuaatoritena, on hiljuti materjalide sensor-omadused rohkem tähelepanu saanud. Et materjali toimimisest aru saada ning seda kirjeldada erinevate rakenduste tarbeks, on vajalik füüsikal baseeruvat mudelit. Sellest lähtuvalt on välja töötatud Poisson-Nernst-Planck-Navier võrranditel baseeruva IPMC mudel. See baseerub füüsikalistel printsiipidest, ehk et saab kasutada võimalikult palju mõõdetavaid suurusi ääretingimustena (nagu materjali paindumine, rakendatud pinge jne). Lisaks on oluline, et meetod millel mudel baseerub, oleks efektiivne ning võimaldaks arvutusi väikese või vähemalt teadaoleva maksimaalse arvutusveaga. Käesoleva töö keskendub peamiselt just arvutusmeetodil ja annab ülevaate uudsest hp-FEM (finite element method) ehk hp lõplike elementide meetodist ja sellel baseeruvast IPMC mudelist. Kõigepealt on täielikult tuletatud võrrandid ja nende integraalne esitus Newtoni meetodi jaoks. Seejärel antakse lühike ülevaade hp-FEM meetodist adaptiivse väljapõhise võrguga ning kogu süsteemi Jakobiaani tuletus hp-FEM tarkvara Hermes jaoks. On näidatud kuidas automaatne adaptiivne hp-FEM võimaldab probleemi suuruse hoida väiksena (süsteemi vabadusastmeid ja kasutatud mälu silmas pidades). Kõige pealt on lahendatud Poisson-Nernst-Plancki võrrandisüsteem ja on käsitletud erinevaid adaptiivusalgoritme. Üks huvitav tulemus on, et adaptiivsed algoritmid võimaldavad lahendada probleemi tingimustel, kus Debye pikkus jääb nanomeetri suurusjärku – seda süsteemis mille mõõtmed on millimeetri skaalas. Nendest tulemustest lähtuvalt esitatakse lahendus terve Poisson-Nernst-Planck-Navier võrrandite süsteemile IPMC paindumise arvutustes. Taaskord on lõplikud võrrandid koos tuletuskäiguga esitatud. Lisaks on analüüsitud suur hulk simulatsiooni tulemusi arvutusprobleemi suurust ja kulutatud arvutusaega silmas pidades ja sellest lähtuvalt leitud parim adaptiivuse algoritm seda liiki probleemide jaoks. On ka näidatud kuidas meetod võimaldab arvutusdomeeni geomeetriat arvesse võtta – domeeni pikkuse ja laiuse suhtest tulenevad ääreefektid on automaatselt arvutustes käsitletud. Kokkuvõtteks, käesolevas töös on detailselt kirjeldatud kuidas kasutades uudne hp-FEM meetod koos adaptiivsete algoritmide ja väljapõhise võrguga võimaldab Nernst-Planck-Poisson-Navier probleemi lahendada efektiivselt, samal ajal hoides lahenduse arvutusvea etteseatud piirides.

Ionic polymer-metal composites (IPMC) have been studied during the past two decades for their potential to serve as noiseless mechanoelectrical and electromechanical transducers. The advantages of IPMC over other electroactive polymer actuators are low voltage bending, high strains (>1%), and an ability to work in wet environments. The main focus has been on the electromechanical transduction property – the material’s ability to exhibit large bending deformation in response to a low (typically 1...5 V) applied voltage. However, lately research on the mechanoelectrical transduction properties of the material has gained more attention. In order to describe both deformation in response to applied voltage (electromechanical transduction) and induced voltage in response to applied deformation (mechanoelectrical transduction) properties of IPMC, an advanced physics based model of the material is necessary. Ongoing research has been focused on creating such model where real measurable quantities can be imposed as boundary conditions in order to reduce the number of unknown parameters required for calculations. In this dissertation, a physics based model that is based on novel hp-FEM (finite element method) is proposed. From the fundamental aspect, previously proposed and validated physics based model consisting of a system of Poisson-Nernst-Planck-Navier’s equations is described in detail and used in IPMC deformation calculations. From the mathematical aspect, a novel hp-FEM method was researched to model the equations efficiently. The main focus of this disseration is on the mathematical aspect. Full derivation of the equations with an in-depth study of the benefits of using higher order FEM with automatic adaptivity is presented. The explicit weak form of the Poisson-Nernst-Planck system for Newton’s method is presented. Thereafter, a brief overview of the adaptive multi-mesh hp-FEM is introduced and the residual vector and Jacobian matrix of the system is derived and implemented using hp-FEM library Hermes. It is shown how such problem benefits from using individual meshes with mutually independent adaptivity mechanisms. To begin with, a model consisting of only the Poisson-Nernst-Planck system is solved using different adaptivity algorithms. For instance, it is demonstrated that the problem with set of constants that results Debye’s length in the nanometer scale can be successfully solved. What makes it even more remarkable is the fact that the calculation domain size is in the millimeter scale. Based on those results, the complete Poisson-Nernst-Planck-Navier’s system of equations is studied for IPMC electromechanical transduction calculations. Again, the entire mathematical derivation including weak forms, the residual vector and Jacobian matrix are presented. Thereafter, a number of simulations are analyzed in terms of problem size and consumed CPU time. The best automatic adaptivity mode for such problem is determined. It is also shown how hp-FEM helps to keep the problem geometrically scalable. Additionally, it is demonstrated how employing a PID controller based time step adaptivity helps to reduce the total calculation time. Overall, by using hp-FEM with adaptive multi-mesh configuration the Nernst-Planck-Poisson-Navier’s problem size in IPMC deformation calculations is reduced significantly while a prescribed precision of the solution is maintained.