Differences between expected answers and the answers offered by computer algebra systems to school mathematics equations

Abstract

Arvutialgebra süsteemidega saab lahendada erinevat tüüpi matemaatikaülesandeid, sealhulgas koolimatemaatika võrrandeid. Sageli langevad arvutialgebra süsteemide vastused kokku koolikontekstis oodatavate vastustega (koolivastustega), vahel aga mitte. Sellised ootamatud arvutialgebra süsteemide vastused on tihti küll matemaatiliselt korrektsed, aga mõne teise standardi järgi, näiteks kompleksarvude vallas. Arvutialgebra süsteemide vastuste ja koolivastuste erinevuste süstemaatiline ülevaade on kasulik arvutialgebra süsteemide arendamisel ning õppetöö planeerimisel. Käesolev dissertatsioon annab ülevaate arvutialgebra süsteemide vastuste ja koolivastuste erinevustest ning nende põhjustest koolimatemaatika võrrandite puhul. Erinevuste spektrit selgitatakse kahe võimaliku klassifikatsiooni abil. Esimese klassifikatsiooni aluseks on see, kas arvutialgebra süsteemi vastus sisaldab rohkem või vähem lahendeid kui oodatav vastus. Teine klassifikatsioon on sisupõhisem ja toob esile vastuste kuju, täielikkuse, arvuvallast sõltuvuse, harunemise ja automaatse lihtsustamise teemad. Arvuvalla ja harunemisega seotud erinevusi käsitletakse dissertatsioonis põhjalikumalt eraldi peatükkides. Koolivastuste ja arvutialgebra süsteemide vastuste erinevusi saab kasutada õpetamisel ja õppimisel. Käesolev dissertatsioon pakubki välja pedagoogilise lähenemise, mis põhineb arvutialgebra süsteemide vastuste ja õppijate endi vastuste võrdlemisel paaristööna. Lisaks õpetamisele ja õppimisele saab selle formaadiga koguda andmeid õppijate teemamõistmise kohta. Väljapakutud lähenemist kasutati tunnisituatsioonis trigonomeetriliste võrrandite käsitlemisel. Põhjalikumalt analüüsiti, kui adekvaatselt õppijad tuvastasid enda vastuse ja arvutialgebra vastuse ekvivalentsust/mitteekvivalentsust ja korrektsust. Leiti, et isegi kui õppijate lahendus paistab korrektne, võib siiski olla lünki arusaamises.

It is possible to solve most mathematical problems, including equations of school mathematics, with the help of Computer Algebra Systems (CAS). The answers offered by CAS (CAS answers) often coincide with the answers that are expected in the school context (school answers), but sometimes not. Such unexpected CAS answers are often correct, but based on different standards, for example in complex domain. A systematic review of the differences between CAS answers and school answers is useful for development of CAS and organizing the teaching process. A review of the differences between CAS answers and school answers and their reasons in case of school mathematics equations is provided in this dissertation. The spectrum of differences is explained by using two possible classifications. A key criterion of the first classification is comparing whether the CAS answer includes a larger or a smaller number of solutions than the expected answer. The other classification is more content-oriented, highlighting the issues of the form, completeness, dependence on the number domain, branching and automatic simplification of answers. The differences caused by number domain and branching are discussed separately in greater depth in separate chapters. The differences between school answers and CAS answers can be used in teaching and learning. This dissertation proposes a pedagogical approach that is based on comparative discussions on students' answers and CAS answers in pairs. In addition to teaching and learning, the format is also suitable for collecting data on students' understandings and misunderstandings. The proposed approach was used in lessons on trigonometric equations. The focus was on analyzing whether students can adequately identify the equivalence/non-equivalence and correctness of their answer and CAS answer. It is found that even if a student's solution looks to be correct, students can have misunderstandings and knowledge gaps.