Riemanni pindade geomeetria ja minimaalpinnad

Abstract

Antud töö on pühendatud Riemanni pindade diferentsiaalgeomeetria uurimisele. Töös käsitletakse pinnateooria järgmisi tähtsaid mõisteid: esimene ja teine fundamentaalvorm, Gaussi kõverus, keskmine kõverus. On kirjeldatud Riemanni pinna stuktuur. Vaadeldakse Riemanni sfääri, mis on Riemanni pinna üks oluline näide. Sfääri Riemanni pinna struktuuri konstrueerimiseks kasutatakse stereograafilist projektsiooni. On leitud Riemanni sfääri konformne meetrika. On tuletatud Weingarteni ja Gaussi võrrandid, mis mängivad tähtsat rolli pinnateoorias. On antud isotermilise, harmoonilise ja kaasharmoonilise pinna definitsioon. Töös tõestatakse, et isotermiline pind on minimaalpind parajasti siis, kui ta on harmooniline. Antud seos on aluseks minimaalpindade uurimiseks Riemanni pindade abil. Vaadeldakse minimaalpinna kahte tähtsat näidet, kus tõestatakse, et helikoid ja katenoid on isotermilised, kaasharmoonilised minimaalpinnad. Töös näidatakse, kuidas kahe isotermilise kaasharmoonilise pinnaga assotsieerub minimaalpindade pere. See teoreetiline konstruktsioon on realiseeritud helikoidi ja katenoidi näitel.