Laplace’i teisenduse kasutamine diferentsiaalvõrrandite lahendamisel

Abstract

Olgu funktsioon f määratud poollõigus [0, ∞). Funktsiooni f Laplace’i teisenduseks nimetatakse integraalteisendust kujul F (s) = Z ∞ 0 e −st f (t) dt. (1) Parameeter s on üldiselt kompleksarv, kuid käesolevas töös (välja arvatud paragrahv 3) eeldame, et s on reaalarv. Lisaks märgime, et selles töös enamasti rakendatakse Laplace’i teisendust tükiti pidevatele ja eksponentsiaalse kasvuga funktsioonidele, mida nimetatakse originaalideks. Laplace’i teisendust (1) märgitakse sageli kujul F (s) = L[f ](s) või F (s) = L[f (t)](s). Teisenduse (1) juured algavad šveitsi matemaatiku ja füüsiku Leonhard Euleri (1707−1783) töödest aastatel 1763 ja 1769. Kuid kõnealune teisendus on nimetatud siiski Laplace’i teisenduseks prantsuse matemaatiku, füüsiku ja astronoomi Pierre-Simon Laplace’i (1749−1827) auks, kes kasutas seda teisendust esmakordselt oma tõenäosusteooria alases töös aastal 1782 (vt [3], lk 319−331). Magistritöö on põhiliselt referatiivse iseloomuga ja tugineb peamiselt raamatutes [2], [4] ja [8] toodud tulemustele. Töö koosneb kümnest paragrahvist ja lisas toodud tabelitest.