Daugavet and Delta-points in Banach spaces: Lipschitz-free spaces, their duals, and renormings

Abstract

Daugaveti ja Delta-punktid on vastavalt Banachi ruumi Daugaveti omaduse ja diametraalse lokaalse diameeter-kahe omaduse punktilised versioonid. Mõlemad ruumide omadused kuuluvad diameeter-kaks omaduste klassi, mis tähendab, et iga ühikkera viilu diameeter on 2. Seevastu Daugaveti või Delta-punktide olemasolu ei nõua nii tugevaid globaalseid omadusi. Tõepoolest, leidub Banachi ruume, mis sisaldavad Daugaveti või Delta-punkte, kuid mille ühikkera viilud võivad olla kuitahes väikese diameetriga. Käesolevas väitekirjas uuritakse Daugaveti ja Delta-punkte erinevates Banachi ruumide klassides, sealhulgas Lipschitzi-vabades ruumides ja nende kaasruumides. Antakse iseloomustavad kriteeriumid nende ruumide teatud alamklassides, sealhulgas antakse Daugavet punktidele täielik kirjeldus kõigis Lipschitzi-vabades ruumides. Lisaks tuuakse näide meetrilisest ruumist, mille Lipschitzi-vaba ruum on Radon-Nikodými omadusega ning sisaldab ka Daugaveti punkti. Samuti näidatakse, et see Lipschitzi-vaba ruum on kaasruum, mis on isomorfne Banachi ruumiga ℓ1. Töös käsitletakse Banachi ruumide ümbernormeerimisi nii, et need sisaldavad Daugaveti või Delta-punkte. Selle tulemusena näidatakse, et klassikalised Banachi ruumid ℓp, kus pϵ[1,∞), on ümbernormeeritavad nii, et need sisaldavad Daugaveti punkte. See annab esimesed näited refleksiivsetest ruumidest, mis sisaldavad Daugaveti punkte. Lõpuks tuuakse välja mitmeid Banachi ruumide klasse, mis ei saa Daugaveti või Delta-punkte sisaldada.

Daugavet and Delta-points were introduced as pointwise versions of the Daugavet property and the diametral local diameter-two property, respectively. Both of these properties belong to the class of diameter-two properties, meaning that every slice of the unit ball has diameter 2. In contrast, the mere existence of Daugavet or Delta-points does not imply such strong global properties. Indeed, there exist Banach spaces that contain Daugavet or Delta-points, but also admit slices of the unit ball with arbitrarily small diameter. In this thesis, we study Daugavet and Delta-points in various classes of Banach spaces, among these Lipschitz-free spaces and their duals. We provide characterizations for certain subclasses of these spaces, including a complete characterization of Daugavet points in Lipschitz-free spaces. Furthermore, we present an example of a metric space whose Lipschitz-free space has the Radon—Nikodým property and a Daugavet point. We also show that this Lipschitz-free space is a dual space, isomorphic to ℓ1. The thesis further investigates renormings of Banach spaces that admit Daugavet or Delta-points. As a result, we show that the classical spaces ℓp for pϵ[1,∞) can be renormed to contain a Daugavet point. This provides the first examples of reflexive spaces admitting Daugavet points. Finally, we introduce several classes of Banach spaces that cannot contain Daugavet or Delta-points.