Collocation based approximations for fractional differential equations

Abstract

Kui me räägime funktsiooni y=f(t) tuletisest, siis peame tavaliselt silmas selle funktsiooni täisarvulist järku tuletist: y’, y’’, y’’’... . Tekib loomulik küsimus, kas tuletise määratlust on võimalik laiendada nii, et tuletise järk võiks olla reaalarv või isegi kompleksarv. Osutub, et see on võimalik ning tuletisi, mille järk ei ole täisarv, on hakatud nimetama murrulist järku tuletisteks või ka lihtsalt murrulisteks tuletisteks. Murrulist järku tuletisi sisaldavad diferentsiaalvõrrandid on osutunud väga tõhusaks vahendiks selliste materjalide ja nähtuste kirjeldamisel, mille käitumine sõltub nende varasemast olekust. Näiteks on murrulised tuletised ja neid sisaldavad diferentsiaalvõrrandid leidnud rakendust majanduses, meditsiinis, mehaanikas ja kaootiliste süsteemide uurimisel. Murrulisi tuletisi sisaldavate diferentsiaalvõrrandite täpse lahendi leidmine ei ole reeglina võimalik ning seetõttu on nende ligikaudne lahendamine väga aktuaalne uurimissuund. Käesolevas väitekirjas uuritakse erinevat tüüpi murrulisi tuletisi sisaldavate diferentsiaalvõrrandite lahendite olemasolu, ühesust ja siledust ning konstrueeritakse kõrget järku täpsusega ligikaudsed meetodid, mis arvestavad lahendi võimalikku singulaarset käitumist. Käsitletakse kolme erinevat tüüpi murruliste tuletistega diferentsiaalvõrrandeid. Saadud tulemusi illustreeritakse erinevate numbriliste näidetega.

Usually, when we talk about the derivative of a function y = f(t) we usually refer to an integer-order derivative: y’, y’’, y’’’, and so on. However, the question arises - can the order of a derivative be a positive real number or even a complex number? It turns out that this is indeed possible, and such a derivative, whose order is not generally an integer, is called a fractional-order derivative. Fractional differential equations have demonstrated strong potential in accurately modeling memory-dependent and hereditary behaviours in complex materials and dynamic systems. For example, fractional derivatives have found applications in biomedicine, economics, mechanics, and in the study of chaotic systems. Due to the complexity of finding exact solutions to equations involving fractional-order derivatives, the analysis and development of numerical methods is an important area of research. However, solving differential equations with fractional-order derivatives presents significant analytical and computational challenges, particularly due to the potentially singular behavior of their solutions. This dissertation investigates various fractional differential and integro-differential equations and studies the existence, uniqueness, and regularity of their solutions. Obtained results are illustrated with numerical examples.