Embeddings and semilinear decompositions of automorphism groups of linear codes

Abstract

Kui lineaarse koodi duaalse koodi minimaalne kaugus on suurem kui 2, on koodi permutatsiooni- ja monomiaalautomorfismide rühmad isomorfsed täieliku lineaarrühma teatud alarühmaga. Selles töös tõestame selle tulemuse otse ning näitame, et juhul kui minimaalsele kaugusele ei ole piiranguid seatud, on permutatsiooni- ja monomiaalautomorfismide rühmad isomorfsed koodi generaatormaatriksi kaudu defineeritud täieliku lineaarrühma alamrühma ja automorfismirühma alamrühma, mis fikseerib iga koodi sõna, poolotsekorrutisega. If the minimum distance of the dual code of a linear code is greater than 2, the permutation automorphism group and monomial automorphism group of the code are isomorphic to a subgroup of the general linear group. We reprove this ourselves by a slightly different method and proceed to show that in the general case where nothing about the minimal distance is known, the permutation or monomial automorphism group is isomorphic to a semidirect product of a subgroup of the general linear group obtained from a generator matrix of the code and the fix-group of the code, the subgroup formed by automorphisms that fix every codeword.